KEMONOTONGAN & KECEKUNGAN

KEMONOTONGAN

Turunan Pertama dan Kemonotongan

Teorema Kemonotongan:

Misalkan f  kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik-dalam dari I.

1)        Jika f’ (x) > 0 untuk semua titik-dalam I, maka  f  naik pada I.

2)        Jika f’ (x) < 0 untuk semua titik-dalam I, maka  f  turun pada I.

Contoh:

Jika f (x) = 2x³ – 3x² – 12x + 7, cari di mana  f  naik dan di mana f  turun!

Penyelesaian:

f (x) = 2x³ – 3x² – 12x + 7

f’(x) = 6x² – 6x – 12

        = 6 (x + 1) (x – 2)

Kita perlu menentukan nilai x yang memenuhi (x + 1) (x – 2) > 0 dan juga memenuhi (x + 1) (x – 2) < 0.

Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2. Titik-titik ini membagi sumbu-x atas tiga interval, yaitu

(-∞, -1), (-1, 2), dan (2, ∞).

Dengan menggunakan titik-titik uji -2, 0, dan 3, kita simpulkan bahwa f’(x) > 0 pada interval pertama dan terakhir,  f’(x) < 0  pada interval tengah. Dapat dilihat pada gambar berikut ini.

 

KECEKUNGAN

Turunan Kedua dan Kecekungan

Definisi:

Misalkan f  terdiferensiasi pada interval terbuka I. kita katakan bahwa  f  (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f’ menaik pada I dan kita katakan bahwa  f  cekung ke bawah pada I jika f’ menurun pada I.

Teorema Kecekungan:

Misalkan f  terdiferensikan dua kali pada interval terbuka I.

1)      Jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka  f  cekung ke atas pada I.

2)      Jika f’’ (x) < 0 untuk semua x dalam I, maka  f  cekung ke bawah pada I.

Contoh:

Dimanamenaik, menurun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?

Penyelesaian:

Dengan menyelesaikan pertidaksamaan (x +1) (x – 3) > 0  dan lawannya, (x + 1) (x – 1) < 1, kita simpulkan bahwa  f  menaik pada (-∞, -1], dan [3, ∞). Demikian pula, dengan menyelesaikan 2(x – 1) > 0 dan 2(x – 1) < 0 memperlihatkan bahwa  f cekung ke atas pada (1, ∞), cekung ke bawah pada (-∞, 1). Dapat dilihat pada gambar berikut.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Varberg, dan Steven E. Rigdon. (2007). Calculus Ninth Edition. Penerbit Pearson.