KONTINUITAS FUNGSI

 

Kata kontinu digunakan untuk menyatakan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak.

Perhatikan grafik berikut.

Kontinuitas di satu titik

Definisi:

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Dapat dikatakan bahwa f kontinu di c jika

Dari definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi kontinu apabila memenuhi syarat berikut:

1)      Fungsinya ada

2)      Limitnya ada

3)      Limit = fungsi

Apabila salah satu dari syarat tersebut tidak terpenuhi, maka f diskontinu di c. Jadi, fungsi yang diwakili oleh grafik yang pertama dan kedua diskontinu di c. Tetapi, kontinu di titik-titik lain dari daerah definisinya.

 

Kontinuitas Fungsi yang Dikenal

1.      Kontinuitas Fungsi Polinomial dan Rasional

Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real C. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali di mana penyebutnya nol.

2.      Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n­

Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c. Jika n genap, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real positif c.

 

Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi

1.      Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi

        Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g, f . g, f / g (asalkan g(c) ≠0), f  ⁿ dan (asalkan f(c) > 0 jika n genap).

2.      Kontinuitas Fungsi-fungsi Trigonometri

Fungsi sinus dan cosinus kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi tan x, cot x, sec x, dan csc x kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya.

3.      Teorema Limit Komposit

Jikadan jika f  kontinu di L, maka

Khususnya, jika g kontinu di c dan f  kontinu di g(c), maka fungsi komposit f o g  kontinu di c.

 

Kontinuitas pada Interval

Definisi:

Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jikadan kontinu kiri pada b jika f(x) = f(b). Dapat dikatakan bahwa f  kontinu pada sebuah interval terbuka jika f  kontinu pada setiap titik dari interval tersebut. Dan kontinu pada sebuah interval tertutup (a, b) jika kontinu pada (a, b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.

 

Teorema Nilai Antara

Misalkan f  fungsi yang terdefinisi pada [a, b] dan misalkan W bilangan antara f(a) dan f(b). Jika f  kontinu pada [a, b], maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c) = W.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Varberg, dan Steven E. Rigdon. (2007). Calculus Ninth Edition. Penerbit Pearson.