NILAI EKSTRIM FUNGSI & TEOREMA NILAI RATA-RATA

 NILAI EKSTRIM FUNGSI 

Ekstrim Lokal

Teorema A: Uji Turunan Pertama

Misalkan f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat sebuah titik kritis c.

1)      Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x  dalam (c, b), maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f.

2)      Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) > 0 untuk semua x  dalam (c, b), maka f (c) adalah nilai minimum lokal f.

3)      Jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Contoh:

Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x² – 6x + 5 pada (-∞, ∞).

Penyelesaian:

Fungsi polinomial f kontinu di mana-mana, dan turunannya, f’(x) = 2x – 6, ada untuk semua x. Jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0, yakni x = 3. 

Karena f’(x) = 2(x – 3) < 0 untuk x < 3,  f menurun (-∞, 3] dan karena f’(x) = 2(x – 3) > 0 untuk x > 3, f menaik pada [3, ∞). Karena itu, menurut uji turunan pertama, f(3) = -4 adalah nilai minimum lokal f. karena 3 adalah satu-satunya titik kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Grafik f dapat dilihat pada gambar berikut.

Teorema B: Uji Turunan Kedua

Misalkan f’ dan f’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a, b) yang memuat c, dan misalkan f’(c) = 0.

1)      Jika f’’(c) < 0, maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f.

2)      Jika f’’(c) > 0, maka f (c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh:

Untuk f(x) = x² – 6x + 5. Gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

f’(x)  = 2x -6 = 2(x – 3)

f’’ (x) = 2

Jadi f’(3) = 0 dan f’’ (3) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua, f(3) adalah nilai minimum lokal.

 

Ekstrim pada Interval Terbuka

Contoh:

Carilah (jika ada) nilai-nilai minimum dan maksimum dari f(x) = x⁴ – 4x pada (-∞, ∞).

Penyelesaian:

f’(x) = 4x³ – 4 = 4(x³ – 1) = 4(x – 1) (x² + x + 1)

karena x² + x + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real (rumus abc), maka hanya terdapat satu titik kritis, x = 1. Untuk x < 1,  f’ (x) < 0, sedangkan untuk x  > 1,  f’(x) > 0. Maka, dapat disimpulkan bahwa f (1) = -3 adalah nilai minimum lokal untuk f dan karena f menurun di kiri 1 dan menaik di kanan 1, memang benar nilai ini adalah nilai minimum dari f.

Oleh karena itu,  f  tidak dapat mempunyai nilai maksimum. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.

 TEOREMA NILAI RATA-RATA 

Teorema nilai rata-rata untuk turunan:

Jika f  kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) di mana

Atau, secara setara,

f (b) – f (a) = f’ (c) (b – a)

Contoh:

Carilah bilangan c yang dijamin oleh teorema nilai rataan untukpada [1, 4].

Penyelesaian:

dan

Jadi, kita harus menyelesaikan

Penyelesaian tunggalnya adalah 
Dapat dilihat pada gambar berikut.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Varberg, dan Steven E. Rigdon. (2007). Calculus Ninth Edition. Penerbit Pearson.