TURUNAN INVERS FUNGSI, TRIGONOMETRI, DAN LOGARITMA

FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

Keberadaan Fungsi Invers

Teorema A:

Jika f  monoton murni pada daerah asalnya, maka f  memiliki invers.

Contoh:

Perlihatkan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers dan cari rumus untuk f  ^-1(y).

Penyelesaian:

Oleh karena fungsi f naik, maka mempunyai invers. Untuk mencari f  ^-1(y), kita pecahkan f (x) = 2x + 6 untuk x, yang memberikan x = ( y – 6) / 2 = f  ^-1(y). Sehingga,

Dan

Grafik y = f  ^-1(x) andaikan f memiliki invers. Maka,

x = f  ^-1(y)  ó  y = f  ^-1(x)

Akibatnya, y = f (x) dan x = f  ^-1(y) menentukan pasangan (x, y) yang sama, sehingga mempunyai grafik-grafik yang identik. Akan tetapi adalah kebiasaan untuk menggunakan x sebagai variabel daerah asal untuk fungsi-fungsi, sehingga kita sekarang mempertanyakan tentang grafik y = f  ^-1(x). sedikit pemikiran menyakinkan bahwa menukar peranan x dan y pada grafik adalah mencerrminkan grafik terhadap garis y = x. Jadi, grafik y = f  ^-1(x) adalah cerminan dari grafik y = f (x) terhadap garis y = x. dapat dilihat pada gambar berikut.

Turunan Fungsi Invers

Teorema B:

Misalkan f  terdiferensiasikan dan monoton murni pada interval I. Jika f’(x) ≠ 0 di suatu x tertentu dalam I, maka f ^-1 dapat didiferensiasikan di titik yang berpadanan y = f (x) dalam daerah hasil f  dan

Kesimpulan teorema B seringkali dituliskan dalam lambang sebagai

Contoh:

Misalkan y = f (x) = x⁵ + 2x + 1. Carilah (f ^-1)’ (4).

Penyelesaian:

Kita perhatikan bahwa y = 4 berpadanan dengan x = 1, dan karena f’ (x) = 5x⁴ + 2.

FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI DAN TURUNANNYA

1.    Invers Sinus dan Invers Cosinus

Definisi:

Untuk memperoleh invers dari sinus dan cosinus, kita batasi daerah asalnya masing-masing pada interval [ -π/2, π/2] dan [0, π] sehingga,

2.    Invers Tangen dan Invers Secan

Definisi:

Untuk memperoleh invers dari tangen dan secan, kita batasi daerah asalnya masing-masing pada interval [ -π/2, π/2] dan [0, π] sehingga,

3.    Empat Identitas yang Berguna

                (i)     

              (ii)     

            (iii)     

             (iv)  

4.    Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Turunan dari empat fungsi invers trigonometri:

            (i)    

           (ii)    

          (iii)       

           (iv)    

FUNGSI LOGARITMA UMUM

Definisi:

Misalkan a bilangan positif bukan 1. Maka:

Menurut sejarah, basis yang paling umum digunakan adalah 10 dan logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Tetapi, dalam kalkulus dan semua matematika lanjut, basis yang penting adalah e.

Sehingga diperoleh bahwa log_a memenuhi sifat-sifat yang lazimnya dihubungkan dengan logaritma.

Contoh:

Jika y = log₁₀ (x⁴ + 13), carilah dy/dx.

Penyelesaian:

Misalkan u = x⁴ + 13 dan gunakan aturan rantai.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Varberg, dan Steven E. Rigdon. (2007). Calculus Ninth Edition. Penerbit Pearson.